Número real
En matemáticas,
los números reales (designados
por R) incluyen tanto a
los números racionales (positivos y negativos
y el cero)
como a los números irracionales (trascendentes,algebraicos),
que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras
decimales no periódicas, tales como: 
.
.
Los números reales pueden ser descritos y construidos
de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los
propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor
necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía
de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el
formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite»,
«se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y
problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa
para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas
(aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.1 En
una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más
usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales
y cortaduras de Dedekind.
Historia
Los egipcios utilizaron
por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.;
alrededor del 500 a. C. un grupo de
matemáticos griegos liderados por Pitágoras se
dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números
negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca
del 600,
posiblemente reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta
elsiglo XVII,
si bien a finales del XVIII Leonhard
Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones
porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de
números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la
definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.
En realidad, el estudio riguroso de la construcción
total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos ylógica matemática. Fue lograda la construcción
y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes
matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg
Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado,
y el análisis matemático de Richard
Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos
lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera
espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la
antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy yWeierstrass.
Operaciones con
números reales
Con números reales pueden realizarse todo tipo de
operaciones básicas con dos excepciones importantes:
1.
No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de
números negativos en números reales, (aunque sí existen en el conjunto de
los números complejos donde dichas operaciones
sí están definidas).
2.
La división entre cero no está definida (pues
cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal que 0·x=1).
Estas dos restricciones tienen repercusiones en otras
áreas de las matemáticas como el cálculo: existen asíntotas verticales
en los lugares donde el denominador de una función racional tiende a cero, es
decir, en aquellos valores de la variable en los que se presentaría una división entre cero, o no existe gráfica real
en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para
raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en
geometría analítica.
No hay comentarios:
Publicar un comentario